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iTunes で iPhone を認識していますか（iPhone の項目が表示されますか）？
iPhone を表示出来なければハードウェアの認識が出来ていないと言う事ですが、Windows では良くあるようでアップルのウェブサイトに対策が載っていた筈です。
確認してみて下さい。

iTunes で認識していればバックアップも取れる筈です。
ただし、iPhone のバックアップは全てのデータを一括して取り扱います。
写真ならば写真を単独でバックアップしている訳ではありません。

パソコンで iPhone の写真を取り扱いたいのであれば別途自分で操作する必要があります。
基本的には Windows から見ると iPhone はデジタルカメラとして認識されます。
もう一度パソコンに繋いでマイコンピュータを確認して下さい。
カメラが接続されていませんか？

カメラとして認識されていれば後はカメラから写真をコピーする時と同じです。

なお iCloud のフォトストリームを利用すればわざわざケーブルで繋ぐ必要も無く写真を取込む事が可能です。
Apple の取説などを参照して下さい。


ーーー 補足に対して ーーー

「写真は何回やっても1年前に同期した写真のままで増えません」ってどういう事でしょう？
写真の同期は「パソコン → iPhone 」への片方向の同期しかしませんよ。
パソコンの特定のフォルダにある写真を iPhone へコピーするだけです。
自分でパソコンの写真をいじらない限り iPhone の写真は増えません。

「マイコンピュータにはiPhoneとしてもデジカメとしてもなくて、なにも接続されていないことになっています」ってのはおかしいですね。
Apple のサイトで認識されない時の対応は確認しましたか？

ひとまずは iCloud を利用してコピーされると良いのではないでしょうか。
パソコンにも iCloud のコントロールパネルをアップルのサイトからダウンロードしてインストールすればフォトストリームが同期される様になる筈です。
フォトストリームは一定条件で順次削除されるのでストリームから自分のパソコンへコピーして下さい。

後は Apple の相談窓口で相談されるか、ジーニアスバーに持ち込んで相談する事をお勧めします。