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先に回答されている方の仰るとおり録音は可能です。

昔はカセットテープに録音してインデックスカードに曲名を書いて聴いていたものって考えれば全然問題ないです。
将来パソコンを購入したときにも使えますから一つだけお勧めの機種を紹介しますね。

価格ドットコムで最安値のトランセンドT.SonicＭＰ３３０なら８ＧＢモデルが４０００円を切っているにも拘らず、コンポといわずテレビ、ＭＤなどからの録音も可能ですよ。おそらく８ＧＢの容量でダイレクトレコーディング可能な機種はこれが一番低価格だと思います。
録音した音楽にはファイル名が日付の連番になってしまうため何が録音されているかわからなくなりますけど、ファイル名からご自身でインデックスカードになるようなものを作っていただきどんな曲が収録されているか管理すれば済むことですからね。
また、録音した音楽はプレーヤーでプレイリストを作ることも、削除したりすることもできるのでとても使い勝手がいいですよ。

参考価格はこちら。

http://kakaku.com/item/K0000065621/

プレーヤーのブランドとするとマイナーな方ですけど、当方は２ＧＢモデルを使い、取扱説明書、メーカー２年保証、イヤフォン、ネックストラップ、クリップ、録音ケーブルが付属しているので、ご要望の予算内でお釣りがくるくらいの機能満載のプレーヤーです。
代表的な機能とすればＦＭラジオ受信（録音・再生）、ボイスレコーダ（録音・再生）、ライン入力端子からのダイレクトレコーディング（録音・再生）、パソコンとの連携で自作した歌詞を表示する機能（写真参照）もあります。

あくまでも、カセットテープレコーダ代わりの低価格多機能なプレーヤーとして紹介させていただきましたが参考になればと思います。