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①バッテリーというのは化学変化を利用している製品ですので使えば劣化するように使い始めは100%の効率では動作しません。ある程度の回数はフル充電フル放電を繰り返して初めて安定した性能を発揮します。いわゆる慣らしとかエージングとか言うやつでしょうか？ですので購入して1週間とか10日程度はカタログ通りに性能は出ない物と考えてもいいでしょう。
②iPhoneはSpotlight検索という機能があり、iPhoneの中のデータを走査してインデックスを作ります。この作業に長いと数日かかりますので買ったばかりのiPhoneは何もアプリを動かさなくても高負荷運転をしてしまいます。

ということでもう数日は様子を見てもいいかと思います。もちろん張って-イーや制御回路そのものに問題がある可能性もありますし、4sのデータを復元する時にiOSに対して何か負荷を高めてしまう設定値がなされてしまっている可能性もあります。数日待っても安定しないようでしたらアップルに相談してください。他にチェックすべき項目があれば指示してくれるでしょうし、そうでないのならアップルもしくはアップルストアでのチェックを勧められて、チェックの上で問題があればバッテリー交換（本体交換）の対応が取られるかと思います。