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こうなる前に何か部品を取り付けたり、はずしたり、加工したりといったことはなかったのでしょうか？
車の電源には2種類あります。

①常時電源 → バッテリーと直でつながっていて、無条件に電源が流れているライン
②アクセサリー電源 → キーをアクセサリ（ACC）にした時に通電するライン

通常はカーステレオやシガーソケットは②のラインなので、キーをOFFにしたり抜いたりすれば、電気は遮断されます。①はカーステレオの時計やメモリー機能を保つために専用のラインに接続したり、車のコンピュータなど常に電源を必要としている部分にのみ接続されているラインです。
何らかの理由で、②がつながるべき場所に①がつながってしまっているのが今の状況と思われます。何もせずにこうなることは普通考えにくいので、何らかの構造変更がかかった可能性を考え、それを元に戻してみるのが一番早い原因究明方法と思います。

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補足、読みました。何も変更がないのであれば、他の方の回答にもあるようにイグニッションスイッチの接点不良か、配線のどこかでショートしているかのどちらかだと思います。ショートといってもACCとBT線のショートなので、ヒューズが飛んだりということは出にくいです。
イグニッションスイッチの交換は車によっても違いますが、大体2万円前後ぐらいではないでしょうか？
車種によってはスイッチ部分だけ交換できるものもあれば、イグニッションキーごとASSY（丸ごと）交換だったりします。
ASSY交換になった場合は、エンジン始動用のキーとドア開閉用のキーが異なるという状態になります。
部品代自体は2000～7000円程度かと…
車種、年式等によってもいろいろですから、診断・見積だけでもどこか工場に出してみられたらどうでしょう？
見積は無料のところも多いと思いますよ。
イグニッションが原因であれば、部品さえ入手できればDIYでも交換は可能ですが、当然ながら自己責任となりますのでしっかり考えてくださいね。