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・phptosmart5510で「プリンターの持つメールアドレス」を設定した、って事は、～@hpeprint.comのメールアドレスが取得出来てる、Photosmart5510と連携出来ている、という事でいいでしょうか。

これが出来てる様であれば、スマートフォンからpdfファイルを添付したgmail(本文は不要)を～@hpeprint.com宛に送信すれば、印刷が出来ます。

うちには同系のHP PhotoSmartB110aに同じ様にメールアドレスを設定して、iPadやiPhoneから印刷させています。


・Androidアプリで印刷なら「HP ePrint Home & Biz」と言うアプリを探してみてください。
https://market.android.com/details?id=com.hp.android.print&hl=ja

Androidスマートフォンの中にある写真、Webページ、Microsoft Word／Excel／PowerPoint、PDFのワイヤレス印刷の印刷が出来ます。


・取りあえず、スマートフォンのPDFを印刷出来れば、という事なら、セブンイレブンのネットプリントを使う手もあるかと思います。
http://www.printing.ne.jp/mobile/index.html

Androidスマートフォン用アプリもあるので、これを使って印刷指定をし、近所のセブンイレブンのマルチコピー機を操作すると印刷する事が可能です。

・iPadからの印刷ですが、PhotoSmart5510自体はAirPrintに対応しますが、iPadのAirPrint対応はiOSが4.2.1以上でないと使用出来ないです。
iPad購入が10年11月以前、且つPCを持ってない、となると、iOSのバージョンは4.1以前の場合もあり、それではAirPrintの機能自体がiPadに備わっていないことになりますので、利用出来ないのではないか、と思われるのですがいかがでしょう。