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ぶっちゃけて言うと買い替えを勧めたいところです。

一番下にレオネットとありますので、確認ですがこちらで初期登録されてますでしょうか？
http://www.leo-net.jp/leoweb_e/guide/guide02.html

んでもって、説明書通りにやるとFLETS等のPPPoE設定になると思います。
しかしレオネットはマンション自体にすでに「ルーターがある」状態です。
BLW-54CW3の後ろにあるルーター／アクセスポイント切り替えスイッチで「アクセスポイント」にするか、
ルーターの状態のままであればDHCPを有効にした状態で、回線種別はCATV接続にしてみてください。

補足に回答

接続には成功ですが、どうやら私の回答がちぐはぐだったようです。

IPアドレスがそうなってしまったのは、APモードになったからです。
レオネットのマンション自体にルーターがあり、その下にくっつくアクセスポイントだからレオネットのルーターからIPが来たらスルーしPCに渡して、ただ単に中継するって感じになってしまっているわけです。
複数PCを繋ぐ際に、レオネットであればCATVモード（背面スイッチはルーター側）というのが正解でしたね。
これは私の回答が悪かったかもしれない…。
1台のPCで繋ぐ前提かと思い込んでしまいました。申し訳ありません。

ちょっと長い説明ですが、

アクセスポイント設定にすると、単純に無線LANを中継ぎするだけの機器になります。
ルーターは外部から1つのIPアドレスを貰い、それを家の中で複数機器で使いまわすための機器です。
なので、IPアドレスは外部からスルーされてそのPCに割り当てられ、ルーターを使った場合ではなく、無線中継器を使っただけの状態になっているのが現状です。
上にAPモードかもしくはCATVモードと書きましたが、そのCATVの設定であればレオネットからIPアドレスを「ルーター」に貰い、ルーターからは家の各機器にDHCPでローカルなIPが割り振られて接続されるという状態になるわけです。
今の状態では、中継ぎだけをしていて、IPアドレスを1つしか使えない状態になっています。
ですので、一応ルーターが中継器として使えるのを確認したとして、ルーターモードにスイッチを戻し、CATV設定として作業してみてください。

1．BLW-54CW3の背面のスイッチをルーターに戻す。
2．BLW-54CW3を再起動し、PCも再起動する（インターネットには繋がらなくなります）
3．192.168.1.1でBLW-54CW3に接続できるようになるはずですので、設定画面を開きます。
4．TCP/IP設定の「インターネット」設定を開きます。
5．右の画面で一番上にあるプルダウンの設定で「通常接続（DHCP）」を選択します。（DNSサーバーは自動でOKです。レオネットのマニュアルに記載する用にあればそれを）
6．設定ボタンを押し、ルーターが再起動されるのを確認します。

これでPCを再度インターネットに繋がるか確認します。
今まではPPPoEを無理にやろうとしていたため、接続できなかったと推測されますので接続できるはずです。
これでBLW-54CW3がルーターとして稼働します。その際には一応PCも再起動をしてください。
無線LANでのWEPキーが飛んでしまったのがありますので、 http:192.168.1.1 に再度接続してWEPキーの確認をしてください。

なお、この機種はハードウェアの性能よりも良い機能を持たせようとしてオーバーフローします。
なので上記の作業をしようとして繋がらない場合、初期化をしてみてください。
設定が吹っ飛んでしまってる場合など、初期化しないと治らない場合がありますので…。