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> たいぶ前のルーターなのですが、このルーターを使って、テレビのネットワークを活用するのは無理でしょうか。

自分なんて、8年も前の有線ルーター使ってます。
（パソコン2台、PS3、無線LANアクセスポイントを介して、無線LAN子機にBDレコーダーやプレーヤーがつながってます。）

お使いの無線LANルーターですが、全然使えます。
が、54Mbps(IEEE802.11g/b)規格までの対応なので、速度面で、問題があるなら、300Mbps（11n）対応品にされるといいでしょう。

> 今使っている機種の相性・つながりは可能でしょうか？

基本的に、相性はないです。ただ、同一メーカー製だと、簡単な操作で設定できます。
で、テレビに接続する無線LAN子機（この場合、イーサーネットコンバータとも言います。）ですが、以下のようなヤツでいいでしょう。

WLAE-AG300N/V2（2個セットです。）
http://buffalo.jp/products/catalog/network/wlae-ag300n_v2/
1個です。
http://buffalo.jp/products/catalog/network/wlae-ag300n_v/
ちなみにこいつ↑はLANポートが2つあるので、2台無線化できます。
WLI-TX4-AG300N
http://buffalo.jp/products/catalog/network/wli-tx4-ag300n/
こいつ↑はLANポートが4つあるので、4台無線化できます。

こいつらは、11nに対応してるので、これを機会に同じバッファローの11n対応の無線LANルーターに替えるのも有りだと思います。

補足について

基本的にdnsエラーが出るという事はIPアドレスの取得が出来ていない、IPアドレスの取得が出来ていないということは暗号キーがあってない等考えられます。

> １台を親で設定し、１台を子機で設定

ではなく、PCをお持ちなら、PCで2台の子機をCG-WLBARGSが飛ばしてる電波に合わせて（暗号キー等）設定、設定された子機を各テレビのLAN端子とつなぐだけだと思いますよ。

以下の通り、おこなってください。設定が終わったら、上で書いた通り、パソコンとWLAE-AG300Nを接続しているLANケーブルを外して、
設定完了したWLAE-AG300Nにテレビを有線接続する場合は、WLAE-AG300NのLANポートとテレビのLANポートをLANケーブルで接続します。

無線子機/増設無線子機として接続する方法
『手動で接続（AOSSを使わないWLAE-AG300Nと既存のアクセスポイントをAOSS接続を利用せず、手動で無線接続したい』
http://buffalo.custhelp.com/app/answers/detail/a_id/2476/p/1,7,432,433/session/L3RpbWUvMTMwODUwMDMzOS9zaWQvSzNPdHlWd2s%3D

これでダメなら、ダメだった時の情報（メッセージ等）を記載の上、また、質問してください。
（CG-WLBARGS側にも問題があるかもしれません？？）