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①.ＰＳＰでネット対戦をする際、無線式のルーターに直接繋げられるのか？（ルーターの箱にはＰＳＰ動作確認済と書いてありました。）
まず、ネット対戦をどのような形で実現させているかでYESともNOともいえます。
そのゲーム専用のサーバーがあって、そこ経由で対戦できる。通信はインフラストラクチャーモードを利用(Yahoo!ゲームのオンライン対戦みたいなイメージ) → Yes
モンスターハンターポータブルやファンタシースターポータブルのように本来はアドホックモードを使って対戦なり協力プレイをするものをある意味強引にオンラインで遊べるようにした場合 → Nｏ

②.①がダメだった場合ＰＣにXlink kaiをイントールして内蔵型の無線ＬＡＮにＰＳＰを繋げられるのか？

ノートPCが有線で接続していた場合にはもしかしたら可能かもしれません。保証は無いですが。
PCが無線だと電波干渉などで不安定になる確率が高いです。

③.②でもダメな場合Xlink kaiが推奨するＵＳＢアダプターを買うしかないのか？
PCが有線接続ならばかなりの確率でいけるかも。
無線ならば②と同じ理由でお勧めしません。

④.ネット対戦をした際、ＰＳ３経由と比べてタイムラグはやはりＰＣ経由の方が遅いのか？

PS3を持っていないのでなんとも。
安定度からいえばPS3からのほうが良いかもしれません。

⑤.フリーアクセスポイントからＰＳＰでインターネット接続をする事が出来るのか？
プレイステーションスポットがそもそもフリーアクセスポイントです。
喫茶店やハンバーガーショップ、空港などからもアクセスポイントがあればアクセスできますが、
PSPできちんと見る事のできるWEBページは少ないです。
知恵袋にも入れ無かったりします。