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電源の故障の中には、立ち上がり特性の変化といったものもあります。
この場合、電源投入時にはマザーボードのパワーオンリセットが正常にかからずNo Signalでビープ音が鳴らない、リセットボタンを押すと正常起動するといった症状が多いと思います。
申告の症状には出会ったことはありませんが、電源の故障による可能性はあります。
ただ、電源ユニットの故障なのかマザーボード上のレギュレータの故障なのかは不明です。
古い電源系では電解コンデンサの劣化による場合もありますので目視で電解コンデンサの膨張や液漏れを確認したりすることもあります（電源ユニット内も） 新品なら除外していいです。
また、HDDだけ別電源にしてあらかじめHDDだけ電源を入れておく、といった切り分け作業も行ってみてください。

全部新品とのことですが、初期不良もゼロではないですから交換していない部分である電源とマザーボードは疑っておいてください。
あと、BIOS SETUP画面で以下の点を確認してください。
・HDDの立ち上がり時間を待つ項目（SpinUp Delayなど）があれば長めの時間に設定する。
・コマンド受理後にHDDのスピンナップを開始する設定になっていれば無効にする。