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火花が出ているのは、ピコイオンユニットの電極ピンの部分だと思い取扱説明書を見ましたが、火花等が見えた時等の記載は見当たりませんでした。
電極ピンに高電圧をかけているので、たまに火花が見えるのは普通なのか、手入れを怠っているからなのかは分りませんでした。（取扱説明書には、電極の手入れについての記載は見当たりませんでした）

水あかとりフィルターは、ポリエステル製で水垢を吸着して、加熱槽に付着する水垢を低減する為の物なので、掃除をせずに使い続けると水垢（水道水中のミネラル分の結晶）が固着してカチカチになります。
今はその様な状態ではありませんか？
水あかフィルターが粉々と言うのは、水あかフィルターは欠けたりしていないけれど粉がいっぱい落ちているからそう思ったと言う事でしょうか？
それなら結晶化した水垢（スケール）だと思います。
水あかフィルターは、もみ洗いすれば軟らかくなってまた使用出来ます。（破れたりしたら交換して下さい：メーカー指示）
ただ、水あかフィルターを掃除しないで使っていると加熱槽等に水垢が付着して、ひどい場合は、動作不良や故障の原因になります。

同じ機種をお使いの方の書き込みがあれば良いですが、情報が得られない場合は、一度メーカーに問い合わせをされた方が良いと思います。
＞こちらの不備になるのでしょうか？
修理に出せば、手入れを怠っていたのは見れば分ると思います。
でも、１ヶ月しか経っていませんし保証期間内ですので、本体にメーカー側の不具合がある場合は無償修理になると思います。
1000円程度の見積り料は掛かると思いますが、修理見積りに出して、修理金額の見積りに応じてどうするか決められても良いと思います。（無償修理の場合は、見積り料も返金になると思います）

【補足への回答】
他メーカーの加湿器を使っているので、KA-J35DXの水あかフィルターの実物を見た事が無く想像になりますが、取扱説明書の画像を見ると、水あかフィルターの厚みが薄そうです。
水あかフィルターは、煮込み料理の時に出る灰汁を取る灰汁取り紙みたいな感じで使われていると思うので、加熱槽の中でグツグツ煮られながら水あかを吸着しているのですが、水あかが付き過ぎるとカチカチになってしまって、煮物の煮崩れみたいに欠けてボロボロになってしまったのではないかと思います。（フィルターは、週１回位のペースでもみ洗いしないといけないと思います）