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このような方法で使うのであれば、ダブル定額も不要です。
ただし、スマホの無線とネットワーク設定で、モバイルネットワークを切断しておくことが必要です。

モバイルネットワークを切断しておかないとパケ死します。ダブル定額もモバイルネットを切断しておかないといつの間にか上限に張り付いてしまうはずです。アプリは起動しなくも勝手に動いていますから。
保険としてダブル定額を残す場合でもモバイルネットワークは切断しておきましょう。
また、GooglePlayのPlayストアの設定で、Wi-Fi接続時のみにアップデートをONにしておきましょう。

私はモバイルネットを切断してプランSSシンプル＋誰でも割で月980円で使っています。

メールはWi-Fi経由のGメールか、SMSのCメールです。
Cメールは昨年までのauスマホではモバイルネットOFFの状態では送信できなかった（受信はできる）のですが、ISW13Fは可能になっています。

モバイルネットワークを切断していても、電話はできます。Cメールもできます。
パケットを切っているだけです。ネットにはつなげませんが。