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CDやDVDはプラスチックをプレスして溝を刻むことにより、光が反射したりしなかったりという仕組みでデータが書き込まれています。
CD-R/DVD-Rの場合はプレスなどで物理的な溝を刻むことはできないので、反射する色素を全面に塗っておいて、そこにレーザーで一部を焦がしてデータを書き込みます。焦げた部分は光を反射せず、焦げていない部分は光を反射します。

そこで今回の場合ですが、多分レーザーが弱くなってしまった、または反射してきたレーザーを読み取る部分の読み取り能力が落ちたことが故障の原因と思われます。市販のプレス方式の反射率の方が、反射色素の反射率より高いので、市販品はかろうじて反射している/していないの判断でデータが読めますが、Rの反射率では全部反射していないことになりデータが読み取れなくなってしまったのでしょう。ゆくゆくはCD/DVDもダメになると思います

昔、CD-Rが出始めのころ、レーザーの強いドライブでは読み取りができましたが、弱いドライブではダメでした。そのためあのプレーヤーはRがよめるが、あれはダメなどということがよくありました。

以上が構造上の話です。

次は修理の話ですが、ドライブは大量に出回っていれば数千円で購入できますが、メーカーが保管している補修部品を使うこと、エンジニアによる故障診断と修理、その後の出荷テストなどの値段をすべて総合するとそのくらいになってしまうのかもしれません。
正直、割に合わないしやめておいたほうがいいと思います。
しかし、確かにMJ840Sは流通していないようですので、一番安く修理できる方法は外付けドライブということになります。
USBタイプで接続できるポータブルDVDがありますので、そちらを使うしかないかもしれません。(可搬性に難がありますが)

補足への回答
USBからのブートはできない機種ですか?機種によってはUSB接続のDVDから起動できます。BIOSの設定はいるかもしれませんが。私の持ってるネットブックはできましたので、Ubuntuからブートしてリカバリ領域のバックアップをしたりしましたよ。
市販品との取り付け度合いは外したドライブを持っていって店頭で現物あわせをするしかないですね。
認識するかどうかは賭けですね。
あとは同じドライブを搭載したPCのHDDや液晶異常でジャンク扱いになっているものを購入するとかですが、ドライブの寿命が後どのくらい残っているかわかりませんしね。難しいところですね。