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＞メールのアイコンを開くと、「新規アカウントの追加」という画面(?)が出てきて、通常のメールボックスの画面が出てこないんです。

上から「iCloud 」「Exchage」「Google」「Yahoo!」……という選択肢が表示されるのですよね？その画面が出るということはメールアカウントの設定ができていません。

＞また、メッセージが届いていることも確認できます。

NTTドコモかソフトバンクモバイルをお使いだと思いますが、その表示はiPhoneにメールが届いたことを示している訳ではありません。あくまでもその携帯キャリアのメールサーバーにメールが届いたことを知らせているだけです。リアルな手紙で言えば郵便があなたの家の郵便受けに入ったのではなく、郵便局に着いた時点で郵便局から郵便が来ましたんで取りに来てくださいと電話があったような物です。（実際にはその様な電話が来ることはないですが）

＞インターネット等に載っていた情報を見て、アカウントの設定は終えています。

終えていないように見受けられますが……

設定方法に関してはキャリアのホームページに載っていますので、それを参照してやり直された方がいいでしょう。こちらからご紹介しようにもどちらのキャリアを使用されているのかがわかりませんのでお答えのしようがありません。私の使っていない方のキャリアであった場合はお答えできないわkでもあるわけですが…・・