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質問を読んだだけでは詳しくわかりませんが、モバイルルーターは非常に回線が弱く、一見電波がいいようにみえても回線に底力がないため、すぐエラーしてしまいます。
特にMH4のようなアクション性の強いゲームでは、例えつながったとしてもラグが酷く、モンスターや、他のプレイヤーが瞬間移動して見えたり、モンスターがいないのにダメージを受けることもあります。
つまり、質問のような「設定の問題」ではなくそのルーターではMH4のオンラインはまともにできないということだと考えられます。
任天堂サポートの言うとおり「モバイルルーターは推奨しない」というのは本当です。一方、ドコモは色々悪あがきをしてくれたようですが「自社製品ではダメです」とは言えないだけだと考えられます。
また、タブレットのテザリング、ソフトバンクのモバイルルーターではできるというのは、恐らく基地局との距離、自宅の位置、部屋でのルーター設置の位置などの条件がうまく整っているため、繋がりやすいのだと思います。
できればバッファローなどの強力なルーターを家に取り付けるべきですが、ソフトバンクのモバイルルーターなどで問題なくできるなら、そちらを使えばいいと思います。