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＞プロバイダ契約とか不要で、壁にＬＡＮケーブル差すだけでネットはできる、

この方式であればCATVと同じ方式、つまりDHCP方式（IPアドレスを自動取得）になりますので、PPPoEではありません（PPPoEの場合はプロバイダと契約してIDとパスワードをプロバイダからもらわないといけない）。


そもそもPS4を壁のLANポートに直結すれば使えるのでしょうか？
BBR-4HG経由でもＰＣに関してはつながるみたいですから、確かに回線側でＰＣの情報を持っているような感じもします。でも「部屋外のどこかにあるであろうモデム」だと今回のように不便過ぎる気がするので、あるとしたら部屋のどこか（据え付けの戸棚や下駄箱やクローゼットの中とか）にある気もしますが・・・もしみつかればモデムの電源を切って数分休ませればいいはずです。

壁に直結するのであればPCもPS4もつながるがルーター経由ではダメ、という場合、回線を提供している会社によってはルーターがつなげないように制限してある場合もありえます（タダなぶん１台しかつながらないようにしてデータ量をセーブしている可能性があります）。その会社のサポート情報を確認すれば何か書かれているかもしれません。
会社名が不明な場合は下記サイトにアクセスすると４項目に、その会社の名前が出てくるかもしれません（出てこない場合もあります）。

確認くん
http://www.ugtop.com/spill.shtml


あと老婆心ですが、

＞数時間放置してもやはり駄目です。

電源を落としてますよね？もしくはＬＡＮケーブルを壁から抜いた状態で放置してますね？
ケーブルを抜いて放置した場合は、BBR-4HGの電源を抜いた状態でLANケーブルをつなぎ、その後電源を入れるようにします。起動時に回線側の機器とやりとりするので、電源入れたままＬＡＮケーブルをつなぎかえると正常な動作が期待できません。

＞ＷＡＮに繋がないハブ機能のみだと、

ルーター機能を使わないとPCとPS4のように同時に複数の端末をつなぐことができないです。同時につなぎたいのですから最終的にはハブ機能では使いません。（ハブ機能にするとPS4もPCも単体ならつながる、という状況になるのであれば、前述したようにその回線でルーターが使えないように制限されている可能性があります。）

PPPoEの設定をしてないんじゃない？