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回答になっていない回答に思えるでしょうけれども、RV-S340SEにノートPCを有線LANで接続した場合、正常にインターネットにつながるかどうかは、やってみないとわかりません。

なぜかと言いますと、RV-S340SEという光電話ルーターは他の機器に接続する際に、ルーターとして動作するかどうかを自動で判別するからです。
RV-S340SEには、WHR-HP-GNが接続されていますが、その接続の際に、RV-S340SEの動作モードが決定されたはずです。
つまり、WHR-HP-GNがアクセスポイント・モードだったら、RV-S340SEはルーターとして動作するようになり、WHR-HP-GNがルーター・モードだと、RV-S340SEはルーターの機能を果たしません。

RV-S340SEの動作モードの変更はよくわかりません。
どうやら、リセットして設定を初期化するしかないようなのです。
下記のWebにRV-S340SEの設定内容が載っていますが、動作モードの変更については見つけられませんでした。
http://router.ipq.jp/rv-s340se/

まずは、有線LANで接続してみて、2台のPCが正常にインターネットに接続できるか試してください。
うまく行かない場合は、RV-S340SE再設定が必要になります。（場合によっては、WHR-HP-GNも再設定が必要になるかもしれません。）

インターネットの使用料については、複数台のPCを接続しても、追加料金は発生しません。つまり電気代だけです。

【補足】を拝見しました。
WHR-HP-GNが、ルーターモードがOFFであれば、RV-S340SE及びWHR-HP-GNのLANポートのどれにでも、LANケーブルで接続して、正常にインターネットにつながると思います。
それは絶対ではなく、その可能性が高いということです。