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アクセスポイントになっている機器がわからないので何とも言えませんが。普通光回線やＡＤＳＬが無線化されている場合は、
光ONU or VDSL or ADSLモデム－－－無線LAN機器（アクセスポイント）となっているかと。
であれば、無線LAN機器側でWi-Fi設定はできるはずです。すくなくとも、NEC製は可能です。なので、買い足す必要がありません。
無線でインターネットができているのであれば、その無線親機の説明書をよく読むことだと思います。

質問に答えますと。。
・その商品を使ってもWi-Fiはできません。なぜならそれは子機だからです。南京錠マークは、セキュリティがかかっている表示です。
・PCの不具合は千差万別なのでわかりません。