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＞どういったヘッドホンアンプを使って、どう接続すればヘッドホンを使ってPS3からの音を聞くことができるでしょうか。
取り敢えず、HTP-S323のマニュアルＰ35の「ＡＵＸ ＯＵＴ ＡＵＤＩＯ端子との接続」を読んで下さい。
後は、↓このようなヘッドフォンアンプをＬｉｎｅケーブルでつなげば音が出ます。
http://www.audio-technica.co.jp/products/dj-plus/at-ha2.html
尚、ＡＵＸ ＯＵＴ端子は、ホームシアターのボリュームで音量調節できません。なので、音量はヘッドフォンアンプのボリュームで調整する事になります。もし、リモコンでボリューム調整したければ、リモコン付きのヘッドフォンアンプとなりますので、下手をするとホームシアターの買換えに近い価格になるのかも知れません。
また、基本2ｃｈの音声となります。サラウンドヘッドフォンを繫ぐ場合必要になる、デジタル音声出力端子はHTP-S323には見当たりません。

【追記】
＞HDMIで入力された音声・映像が、映像は今までどおりHDMIでTVに・音声は赤白ケーブルでAUXの先の機器に、と自動で振り分けられるものなのでしょうか？

確かに、マニュアルには、デジタル音声入力をＡＵＸライン出力できると明示されていないようです。しかし、逆にＨＤＭＩ出力信号に関しては何箇所かにビデオ・アナログ音声入力信号は出力されないと明示されていますが、この出力には「デジタル音声入力は出力できない」という特記事項は見当たりません。
ＡＵＸ ＯＵＴ ＡＵＤＩＯ端子から出力するしか、ＴＶとＰＳ３両方の音声を出力する可能性はなさそうですし、アナログ音声出力には特記事項もなかったので回答したのですが・・

マニュアルには、ＯＳＤ機能のため、モニタ出力とＴＶをつなげと書いてあります。更にＡＵＸ音声出力をＴＶのビデオ1とかの音声入力につなぎ、ＰＳ３で再生中にＴＶをビデオ1入力に切替えＴＶから音声が出力されればデジタル音声入力がアナログでも出力されていることを確認できますよ。