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液晶画面が壊れてるだけなら、外部モニターを繋げば大丈夫だと思います。
そのパソコンにはHDMI出力が付いてるようなので、もしHDMI入力付きのテレビをお持ちでしたら繋いで見てはどうでしょうか？
最近の液晶テレビには「ミニD-sub15ピン入力」が付いてる物もあります。
それだとPCモニターと同じようにPCの画像をテレビに映す事が出来ます。
HDMI入力かミニD-sub15ピン入力があるなら、ケーブルを買って来て試してみるのも良いかも・・・
地デジ対応テレビならHDMI入力は付いてるはずですし、もし地デジ対応テレビをお持ちで地デジ対応レコーダーもお持ちでそれらをHDMIケーブルで繋いでるのでしたら、レコーダー側のHDMIケーブルをパソコンに付け替えればいいです。

または、PC用液晶モニターなどを買うか借りるかして繋げば、画像が見られるようになると思います。
ミニD-sub15ピンで繋ぎますので、ケーブルが必要ですが・・・
それでもダメなら修理するしかありませんね。
液晶モニターが壊れてて交換になれば、数万円はかかると思います。

もし、テレビなどの外部モニターを繋いで映るのであればその状態で使い続ける事も出来ますが、買い換えるのなら外付けHDDにデータを移す作業もそれでやりやすくなるはずです。
ただ、内蔵HDDを取り出して新しいパソコンに外付けHDDとして繋ぐのは、そういうことになれてないと難しいというかややこしいかも・・・
（ユーザー管理＝立ち上げ時にパスワード入力にしてた場合、外付けにするとデータを取り出せないかも・・・？）
まずは、なにか外部モニターを繋いで映像が映るかどうか試し、映るなら後は普通に作業が出来ると思うので重要なデータをCD-RやDVD-RやUSBメモリ等に移すか、移動させるデータの量が多い場合はUSB外付けHDDを買って来て移すのが良いと思います。
写真や動画をどのフォルダに保存してかた覚えているならそれを移動させる。
iTunesのデータの移動は・・・、曲の移動は判りますが（写真などと同じでファイルのあるフォルダを見つけてそれを移せばいい）、プレイリストなどのデータを移す方法はやった事がないので判りません(;^_^A
まあ、HDDの中身全てを移せば後でなんとでもなるかも・・・