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当該の機種はこちらでしょうか？
http://121ware.com/psp/PA121/NECS_SUPPORT_SITE/CRM/s/WEBLIB_NECS_PRO.PRODUCT_ID.FieldFormula.IScript_Product_Spec_Details?prodId=PC-LL750FS1SB

起動メニューから2のHDDを選択してWindows起動させることはできませんでしょうか？
起動させられたら、Windowsからもう一度リカバリーディスク作成を試みて下さい。
失敗を恐れずに実行してみて下さい。

先に2番目の質問に回答します。
もう一台のNECパソコンでリカバリーディスクを作ることは何の問題もなく可能です。
しかし今回壊れたパソコンには使えません。
それでもトラブルが生じてから作成するより、事前に作っておいた方がいいので実行して下さい。

NECの修理代57,000円の内訳が不明ですが、恐らくHDD代＋交換技術料＋OSインストール代だと思われます。
だいたいそれ位の金額の筈です。

ここで一番目の質問について回答します。
前述の通り、Windowsを起動させてリカバリーディスクを作成することができたのなら、自力でHDDを交換して、リカバリーディスクからOSをインストールします。
リカバリーディスクの作成ができないようなら、NECからリカバリーディスクを購入して、自分で交換したHDDにOSをインストールします。
自分でHDDを交換する自信がない時や、OSのインストールに不安があるのなら、NECに57,000円支払って修理を依頼するしかありません。
また故障の原因がHDDではない場合も、自力交換しても直らないのでNECに修理を依頼する必要がありません。
質問から原因がHDDであろうと言うのはあくまでも推測であり、その推測に基づいて自力交換するのは自己責任になります。
それが嫌なら、メーカー修理の方が賢明です。

他の回答者様が言うとおり、日本製ノートパソコンのHDD交換は同じメーカー・同じ型番（容量及び回転数が同じもの）でなければOSのインストールを受け付けないとも言われています。
実際知恵袋や価格比較サイトの口コミ欄では、HDD交換後にトラぶった人達も多いです。
しかし、問題なく交換ができている人も多いのも事実です。
私自身、2台のNEC製ノートパソコンのHDDをSSDに交換しており、何ら問題は発生しておりません。
成功。失敗は事前に予想はできず、これも自己責任を自覚して実施するしかありません。

交換は、私の機種では2台とも左側のパームレストの裏側にある蓋をネジ1本だけはずして、アクセスするだけだったので非常に簡単ですが、NEC製の全ての機種が同じとは限りません。
ご質問の機種では、実行した人がいないのか交換方法はわかりませんでした。
別機種の例ですが、交換手順は下記の通りです。
http://bunkaikoubou.jp/lavie/ll730t/ll730t_1hdd.html