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ファインピックスJ10は、xDカード・SDカードのどちらでも使えます。
http://fujifilm.jp/personal/digitalcamera/finepixj10/index.html

ルミックスDMC-FX35は、SDカードのみです。
http://ctlg.panasonic.jp/product/points.do?pg=05&hb=DMC-FX35

一般論として、フジは、高感度での撮影を以前から前面に出しているので、暗いところでの撮影に強い傾向があります。
（写ると言うだけでなく、暗い所での色の再現性とかも含む）
パナソニックは、手ぶれ補正を前面に出して、シェアを伸ばしてきたので、この機種も手ぶれ補正が付いています。

仕様としては、画素数（約800：1000）が多く、光学ズーム（３倍：４倍）の範囲が広いルミックスをお勧めしますが・・・
カメラの使い勝手は、仕様だけでは分かりません。

例えば・・・・
１．ピント合わせが遅い機種だと、子供のような動き回る被写体には不向きです。
２．デジカメはシャッターを押してから実際に写るのに若干のタイムラグ（遅れ）がありますが、それが大きいと撮りたい瞬間が写っていない事も。 ・・・撮る人の感覚に合っていれば、問題有りませんので、人によって異なる。
３．オートで綺麗に写る機種と、若干マニュアルで操作してやると、オートより綺麗に写る機種とかありますが、マニュアル操作で、綺麗に写っても、操作が苦手な人には不向きですし・・・
４．同じ物を撮ってもメーカーにより若干色の出方が異なります。人物とか、風景とか、良く写しそうな物を実際に撮ってみて自分の好みの色具合が◎です。

一言で、イベントや家族写真と言っても、屋内、屋外、遠くの人物を撮るのか、全景を撮るのか等々シチュエーションが異なるので、何が適しているのかは、本人にしか分かりません。

両方のカメラが手元にあるなら、実際にSDカードを入れて（買って？）撮影してみて、自分で使いやすい方を残しては如何でしょう？