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auのiPhoneでは、通信システムの関係上、普通の携帯のようにメールを自動受信すること（プッシュ方式と言います）はありません。

設定→メール連絡先カレンダー→データの取得方法

のところで「15分ごと」と設定すると、メールが来ているかどうか15分おきにチェックしてくれる（フェッチ方式と言います）ので、メールボックス確認しなくてはメールが来ないということはなくなります。

しかし、受信に最大で15分かかるというのはやはり不便ですよね。
auの方では４月頃に改善するとのことですが、まだよくわかりません。

４月まで待てないというのであれば、iCloudのアドレス（〜@me.comのアドレス）はプッシュ方式の受信方法なので、それを取得し、au方のメール設定でiCloudのアドレスに転送するように設定すれば、即メールを受信できるようになりますよ。僕はそうしています（＾＾）
同じメールが2通届くことになってしまうので、多少面倒ですが・・・。