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デジカメの場合、プリント写真に日付を印字する方法は次の２つの方法があります。

１）カメラ側の設定で撮影時に画像に日時を直接焼き付ける。
２）画像データに含まれる日付データを元に印刷時に日付を印字する。

おそらく①は、１）の方法を、②は２）の方法を説明したのだと思います。
といっても②の方は、ちょっと意味が分かりません。
ぜんぜん知らない人が勝手に説明したのか、質問主様が理解できなかったのかどちらかだと思います。

一方、写真に焼き付けられる日付のフォントや色などは、印字する方法毎の仕様で決まります。
赤い日付をプリントしたいのであれば、なんらかの設定（指定）が必要です。

１）の方法の場合には、撮影した画像データに直接日付を取り込みますので、カメラの機能で赤い日付を画像に焼き付けられないのであれば赤い日付は印字できません。
またこの方法は画像データとして日付も書き込まれていますので日付をつけないで印刷したい場合には、画像編集で日付部分を編集しなくてはならないことになるため、印刷時に日付のあるなしを簡単に指定できるデジカメの画像印刷の場合には、よっぽど特別な場合以外はこういうことは行う人はいません。

２）の方法の場合、印刷ソフトの仕様によるところなので、その印刷ソフトに赤く印字する機能がなければできません。
ネット注文で赤い日付が印字されていたというのであれば、以前、注文していたところが赤い日付が標準のところだったのでしょう。
もし同じネットプリントの店で赤い日付が印字されないのであれば、そこのお店の仕様が変わったのでしょうから、お店に問い合わせてみてください。

どうしても赤い日付を印字したいのであれば、印字日付の色やフォントを指定できるネットプリントのお店や、そういった機能のある印刷ソフトを探すことです。