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（AtermWR8150N ）と（MZK-MF150W）の両方に同じプロバイダのＩＤ パスワードを入力していませんか？
（またはその上部側にもうひとつルーターがないですか？モデムの名称は何ですか？）

その場合はどちらか一方がネットの接続をするためもう一方がプロバイダから切断されます。

まずはそのへんがあやしいのかなと。

補足への追記

プラネックスのはどこにつないでるんだろう？

NTTからレンタルしているVDSL＜N＞A-100→網終端装置→AtermWR8150NとMZK-MF150WとiMacに有線接続しています。

＞配線がよくわかんないので詳しく教えていただければ良回答がつくかもしれません。

片一方の無線親機の電源を切って常時つながるようでしたら下記を試してください。

VDSL＜N＞A-100→網終端装置のWANポートへ
網終端装置のLAN1（網終端装置ＬＡＮならどこでもよい）からAtermWR8150Nへ
網終端装置のLAN2（網終端装置ＬＡＮならどこでもよい）からMZK-MF150Wへ
iMacは各機器のLANポートならどこでもよいです。
ひかり電話対応機器を利用でしたら空いてる3か4（網終端装置ＬＡＮならどこでもよい）へつないでください。

同じプロバイダ情報を網終端装置 AtermWR8150N MZK-MF150W imacの二つ以上に設定している可能性があります。
網終端装置にプロバイダ設定が投入されているか、各無線ルータはアクセスポイントとして動作しているか確認してください。