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＞ヘッドホンを接続すれば左右の音は出ています
＞分解したところスピーカー配線の
＞断線や半田浮きはないようです。

きちんと中を見ての質問です。
まず、アンプなどの増幅回路に異常は無いでしょう。ただ、出力の保護回路はどうなのでしょうか。
良くあるのは、リレー式ですし、ヘッドホンの出力の出所にもあります。スピーカ出力の前でヘッドホン出力を取ることは結構あります。電圧増幅は大体終り、電流増幅前の段階であればヘッドホン出力に見合うmAくらいはあります。スピーカ出力から抵抗で出力容量を落とすよりまともな方法です。MDラジカセだから無い訳でもなくあっても出力を考えると極小さい物でも済みます。
そこの部分が一つ。

スピーカは大丈夫なのか。これは乾電池一つで確認できます。
保護回路が働いたまま（理由は判りません）の状態では無いのでしょうか。ヘッドホンの出力がどこから取っているかで変わります。