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単純に出力電流が不足しているだけでしょう(^-^

仕様をみれば１２Ｖ１Ａと記載されているので動かない方は１Ａを超える電流を消費するからそれ以上の出力電流のアダプターじゃなければ動かない（ライトは点灯するがモーターが回らない）という現象になることもあります。
元のＡＣアダプタの仕様が分からないと、購入するアダプターも決まらないと言うことでこればっかりは実際の消費電流を測定してみないと安易にどれを購入すればよいと言うものでもありません。ライトハウスの取扱説明書の仕様に出力電圧１２Ｖで消費電流が１Ａ以上のものを選ぶくらいしか回答のしようがありませんが、どれくらいのものかが書かれているはずですのでご確認ください。

ちなみに、スイッチングとかトランス式なんて関係ありませんからそれはどれを選んでも間違いではありません。
ただし、電圧、電流、プラグの外径、プラグの内径、極性などをしっかり見極めたうえでお選びいただかないとまた失敗をすることになるかと思いますので、ＡＣアダプタ選びの選定基準として回答をさせてもらいました。

補足
専用アダプターの形状が比較的大型のものならトランス方式だと思います。このタイプだと多少の負荷でも比較的粘って出力を維持します。
で、購入した商品の最大って言うのが気になりますね。
いずれにしても、実際にライトハウスで消費されている電流を測定して、それに対しての電源の容量に余裕が少ない固体、つまりスイッチングＡＣアダプタに表示されている定格よりも実際に出力が１２Ｖ１Ａが出ないものという可能性もあります。
本来なら動作するはずが、動作しないのであれば「不良品」と考えた方が良いのではないかと思います。とりあえず、購入した店舗に不具合状況を伝えたうえで交換か返品するか、同じ店舗で販売しているもう少し大型の電源容量に余裕がある１２Ｖ２ＡクラスのＡＣアダプタに買換えるなどの対応をされた方が良いと思います。
おそらく、同じ商品の交換でも再発する可能性は極めて高いと考えるので、もうちょっと奮発して１２Ｖ２Ａのものを購入することが私からのお勧めです。