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他のディスプレイをつないでも同様な症状がでるのでしたら、
ディスプレイの販売時期が２００２年のため、ＦＬかインバーター回路の寿命かと思います。（修理、または交換）
液晶パネルは液晶自体は発色はしますが発光しないため、バックライトによって発色した液晶を照らして画面表示をします。
最近はは省エネ、長寿命のＬＥＤがバックライトに使われていますが、この時代のものはＦＬ（蛍光灯）にて液晶を照らしています。
ＦＬは高電圧で発光するためインバーターの昇圧にて発光しますが、時間とともに普通の蛍光灯同様、時間経過にてＦＬ管が劣化して赤みを帯びたりして点灯しなくなります。またインバータも経年にて点灯に必要な電圧を発生しずらくなります。
これにより点灯しずらくなり、なかなか点かない状態が発生していると思います。また点いても消えるという症状がでます。

＊液晶についているＦＬについてはどうかわかりませんが、一般にＦＬは温度が低いほど点灯しにくい性質があります。
逆にいえば温度が高いと点灯しやすいと考えると。
時間がたってから点灯するということは、点灯しずらくなったＦＬが、通電により他の基板の熱で液晶（ＦＬ）が暖められ
なんとか点灯したもののように思います。

なんにせよ、知人などから液晶ディスプレイを借りて、同じ症状がでるか確認してみてください。