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詳しい図があるので助かります。
FON_APでは通常振られるIPアドレスが192.168.182.xxなどです。かなり3つめの数値がでかいネットワークです。
しかも、その無料側のネットワークは普通の設定ではまったく制御できませんので、完全にLa Foneraまかせになります。

169.254.81.xxxというのは、LaFoneraとはまったく関係なく、DHCPサーバが見つからなくて、とりあえずWindowsが設定しておきましたっていうアドレスなので、「電波はちゃんと認識してます。しかし、(FON_APの)ルータは認識してません」という状態ですね。

まず、右下の接続アイコンを出して、「サポート」-「修復」を試してみます。DHCPからのIPアドレスを再度取得を試すのです。
それで192.168.xxx.xxxといったアドレスになれば問題ありません。

それがコケて再び169.254.xxx.xxxなどのアドレスになる場合は、LaFoneraのFON_AP側DHCPサーバがコケている可能性が高いので、LaFoneraの再起動(電源抜き差し)を試しましょう。
それでもダメな場合、爪楊枝長押しなどで初期設定に戻すことになります。
それ以上にいじれる場所は、FON_APに関しては残念ながらありません。ファームのアップデートなどは自動で行われることになっているからです。

以上でダメなら修理でしょう。

<追記>
上で書いたルータとはLaFoneraです。直しておきました。
残念ながら有線ルータの設定を直すところはなさそうです。
MyPlaceが正常ということを考えても有線ルータとLaFonera間の通信は問題ないと考えられます。