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質問者さまのお撮りになった写真は、窓の外の光が被写体（お子様）と撮影者に対し、逆光になっています。カメラに向かって光が入ってくるので、カメラは「被写体が」すごく明るいと思い、写真の明るさを暗くしようとします。ですから、写真が暗くなるのです。そんなときは、露出補正を＋側にかけます。もし露出補正の仕方が分からなかったら、取扱説明書で調べて下さい。巻末の索引で「露出補正」をさがして、その調整方法をよく読んで下さい。操作自体は難しくありません。どのくらい＋側に調整するかは、窓からの光（逆光線）がどれくらい明るいかによって変わってくるので、最初のうちは補正の幅を段階的に試して、自分なりに好きな明るさで写るところを探して下さい。

望遠レンズを使用してポートレートを撮ると、（ポートレートだけの話ではありませんが）大きく分けて
①背景がぼける＝ピントの合う範囲が（前後方向に）狭い
②背景の、写真に写る範囲が狭まる
というような写真が撮れます。

同じ望遠レンズでも大砲のような大きな望遠レンズは、質問者さまがお持ちの55-200mm用のレンズよりも、解放F値が小さいレンズです。この数値が小さいほど、ピントが合って見える範囲が（前後方向で）狭くなり、できあがり写真のイメージとしては、目にはきっちりピントが合っているけれども、口元ととか顔の輪郭線はぼけている、というような写真が撮れます。
35mmや50mmのレンズで、Aモードで絞り値を小さく設定すれば、そのようなプロっぽい写真を撮る事が出来ます。ただし、背景の写る範囲が比較的広範囲になります。（だからといっておかしな写真になるわけではありませんよ）

おそらくプロ撮影として添付して下さった右側の写真は望遠レンズで写されている写真だと思いますよ。