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製品情報をみると、本体裏にAOSSボタンがあるようですが・・・
http://buffalo.jp/products/catalog/item/w/wla-g54/index.html
マニュアルが２種類あるので、AOSS対応機とそうでないのがあるのかもしれませんね。

ルータと無線LANが別々だから接続不可能、ということはありません。
実際にうちも、機種は違いますがYahoo!BBのルータ＋無線LANブリッジ（ルータ無し）でWiiとPCが接続できてます。
（正確には、無線ルータのWANを使わずLAN接続でDHCP無効、と言う使い方ですが。）
どちらが楽かと言われれば・・・一緒になっている方が楽ですね。分かれてると、今回のようなつながらない時に原因特定が少し難しくなります。

IPアドレス取得に失敗ということですが、例えば、BBR-4HGかWLA-G54の設定で接続するパソコンを制限してませんか？
DHCPや無線LAN接続で台数を制限してたり、MACアドレス（LANのハードウェアのアドレス）での接続制限がある場合は、設定を変更します。

あとは、それぞれの設定画面で「本体情報」や「管理」という所に「ログ情報」を見る機能があり、例えば無線クライアントやDHCPサーバのログ情報を見ることで、Wiiの通信がどこまで届いているのか何となくヒントになるかもしれません。
（WiiのMACアドレスや無線LANブリッジからの通信、時刻などから推測したりもします。）

見えない物が相手で大変ですが、頑張ってください。