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バッテリーの不調なら社外修理店の方が安いですし、入獄もしないで済みますが、
Appleに持ち込むとして回答します。

① 入獄ですが、5.1.1のshshを既に取得、保存済、または脱獄した時点の最新iosが5.1.1なら、Cydiaに自動保存されていると思うので、取得出来れば、基本的には5.1.1→5.1.1への復元が可能ですが、Cydiaサーバーの不具合で保存shshが使えないと言う記述を良く見ます。
脱獄した時点の最新iosが6～であれば、現在のiosとshsh取得は関係ないのと、
4sで希望のバージョンに復元可能になるのは5.○○→5.○○なので、6～のshshが取得出来ても使用出来ません。
shshが取得出来ないと入獄→6.1.3=再脱獄不可です。

②5.1.1で脱獄を行うなら、Absinthe v2.0.4で大丈夫です。他にもありますが、お使いになった事のあるツールの方が良いと思います。

③再脱獄後、AｐｐBackupはCydiaで手動で入れて下さい。(私も使用した事があるのですが、かなり前なので、repoはバックアップされないと思うのでSource Saverと言うアプリを入れ、起動しバックアップしておけば、repoもバックアップされた物が戻ると思います。
念の為、Appinfoでアプリ、repoをリストにして、メール送信出来るので控えておいた方が良いと思います。
入獄する事でroot等Mobileterminalで変更したパスワードはデフォルトに戻っているので、再変更して下さい

長文になってしまい申し訳ありませんが、冒頭書きました様に脱獄環境の維持を考えると、5.1.1、shshが取得出来ても、使用出来ない可能性もあり、復元失敗で6.1.3にしか出来なくなる、可能性もあるので、社外修理店に出す方が、良いと思います。
社外修理店もピンキリすので、事前に確認して、純正のバッテリーを使用して交換してもらえるshopであれば、後に何かでAppleに持ち込んでも入獄していれば、修理してもらえますので...