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ISO感度を上げ、明るいレンズを開放付近で使用しシャッタースピードを稼ぐしかありません。

具体的にはD60はISO3200まで使えましたっけ？まで上げ、Avモードを使用し絞り開放。
撮影したい地点にピントを合わせておいて、オートフォーカスを切る。（低照度下ではオートフォーカスが迷って撮れなかったり、ピンが抜けたりしますから）
またマニュアルフォーカスにすることでシャッターのタイムラグが限りなくゼロになります。
一脚等あればベスト。
被写体をファインダーに収めたまま流して、置きピンしたところで撮る。
シャッターを切るときにカメラを止めてしまう人を見かけますが、最後まで振り切りましょう。

手振れ補正は被写体ブレには無関係ですから、手振れ補正など必要ないですが出来るだけ明るいレンズが欲しいところです。
もしキットレンズのような暗い望遠しか無ければ、中古で1万円以下で手に入るAi-s200/４辺りなど、D60では300mmになり、開放もF4ですのでシャッタースピードも稼げてかなり良いと思います。
この組み合わせでは内蔵露出計もオートフォーカスも使えませんが、露出は本番前に試し撮りで決定すれば良いですし、最初からAFを使わないので問題なしです。

。。夜の競馬場で写真を撮りたいのですが。。D60では力不足でしょう。 去年ニコンのD800とキャノンの5DM3が発売された時両機種のAFテストを室内馬場でテストしたものがYoutubeに 有りましたがD800で撮れないものがD60ではきついでしょう。

なるべくISO感度を上げてシャッタースピード優先でシャッタースピードを可能な範囲で早くして撮影しましょう。Ｄ60だと感度は妥協しても800程度かなそれで無理ならカメラとレンズの限界。

設定は、露出に関して興味がない向きには、まず「Ｐ」にして撮られたらいいと思います。 但し、カメラの自動露出はいい加減なので、ある程度のことは妥協してあげてください。

＞なかなかうまく撮ることができません

夜間とのことで、きっとブレが目立つのかな？とは思いますが、日中と違い露出が充分でない状況では、それは設定ではなくカメラワークでカバーするしかないですよ。
向かってくる被写体はズームで大きさを一定に保ちながら、被写体の動きに合わせてカメラを振りながら撮ってみてください。