質問者が納得バッテリーの交換だけで直るかどうかは断定出来ませんが、まあ交換しても良いのでは?
既に保証期間も過ぎているので安上がりにしたければ非正規のお店に持ち込んだり、自分で交換と言う事も考えて良いかも知れませんね。
基本的にはバッテリー交換でデータは消えませんがやはりバックアップは必須でしょう。
iOS 5以上にアップデートされていれば iCloud でもバックアップ可能ですよ。
また写真などは Dropbox を利用すれば簡単に取り出せますし、メールも@iのメールは IMAP ですからパソコンからでも確認可能...
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