iPhone 5 リスタート後の解決方法

質問者が納得iCloudと連絡先を同期する場合、オンにするのは「メール」ではなく「連絡先」だと思われます。 「連絡先」をオンにして、「iCloudとデータを結合します」というダイアログがですので、「結合」を押せば同期されると思います。 (ダメなら) iPhoneに入っている連絡先データを抜き出す方法は、iTunesを使って、Outlookなどにデータを移すこともできます。