質問者が納得サーバーの機能にもよりますが、標準のメーラーで出来る事ですよね。
標準の何が不満か書かないとアドバイスしようがありません。
ーーー 補足に対して ーーー
上にも書いた様にサーバーで削除したメールが iPhone 上でも削除されるかどうかは iPhone 上のメーラーの機能ではなくサーバー側の機能です。
IMAP もしくは Exchange のサーバー（@i.softbank.jp や iCloud 、G-Mail など）であればきちんと削除されます。
POP のサーバーであれば削除されません。
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