質問者が納得ETC車載器は、ご自身で取り付けられたのでしょか?
“オーディオから音が出ているときだけＥＴＣの電源が切れたり入ったり で・・・”
という症状から推測すると、オーディオ裏の電源（常時＋・ACC・アース）を接続すべきところを“スピーカーの配線”に接続されているのではないでしょうか?
スピーカーの音が出ているとき（スピーカーにつながる配線に電気が流れます。）のみETC車載器の電源が入った状態になり、音が途切れるたびに（スピーカーへの電気の流れは無くなり）ETC車載器の電源がOFFになると思われます。
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