質問者が納得予想するに・・・
まずオートマチックギアボックスのオイル(ATF)が不足しているように思います。何度かガチャガチャしているうちにエンジンとATFの温度が上がり、熱膨張で何とか規定ギリギリレベルまで上がったから動き出した。(という仮説)
次に
ATのギアポジションを切り替える スプールバルブ という溝がある棒があるのですが、
その傘部分が割れて油圧が逃げてしまっている。(こちらも仮説)
何れにしても、
走れるうちに基本点検をしておいたほうが、道端で立ち往生しなくて済むと思います。
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