質問者が納得異常に厚い紙の場合、どうやっても内部のインク溜まりをこする可能性があるので、新しいプリンタでも対応できるか微妙な気がします。新しいうちはインク溜まりにたまってないので大丈夫な可能性もありますけど・・・。
プリンタの強力クリーニングは、むしろ廃インクをたくさん出すので逆効果でしょう。
もし効果があるとしたら、すでにかすれてしまった封筒を何度も通して（白紙で印刷かけて）、不要なインクをすべて吸収させてから通せば若干改善するかもしれません。
費用はかからないのでちょっとやってみてください。
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