質問者が納得（AtermWR8150N ）と（MZK-MF150W）の両方に同じプロバイダのＩＤ パスワードを入力していませんか？
（またはその上部側にもうひとつルーターがないですか？モデムの名称は何ですか？）
その場合はどちらか一方がネットの接続をするためもう一方がプロバイダから切断されます。
まずはそのへんがあやしいのかなと。
補足への追記
プラネックスのはどこにつないでるんだろう？
NTTからレンタルしているVDSL＜N＞A-100→網終端装置→AtermWR8150NとMZK-MF150WとiMac...
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