質問者が納得いままでPCには繋いでいなかったのでしょうか?
「このコンピュータを信頼」とゆうアラートダイアログですよね。
操作できないのならどうしようもありません。
保証を諦めて非公認修理業者に液晶パネルの交換のみ依頼するか、
データを諦めてAppleでの修理(交換)にするかですね。
ひとつ確認したいのですがiCloudバックアップも使っていなかったのでしょうか?
https://www.icloud.com/
使っていた場合PCから上記のiCloudサイトへアクセスし連絡先の内容を確認してみて下さい。
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