iPod touch (4th generation) サインインの解決方法

質問者が納得はじめから内臓されているゲームはありません。おそらくそれはgamecenterというアプリではないですか？ただホームに戻ってしまうというのがひっかかりますappstoreよりゲームをダウンロードしてみてください。

質問者が納得そもそも、その Apple ID（アップルストアアカウント）って有効になってんのかな？つまり登録作業は完了してんのかな。たとえば PCの iTunesを起動して iTunes Storeでサインインできる？できないんならその Apple IDは使えないぜApple IDの登録手順だと途中で Appleからメールが送られてくる。そのメール内に書かれている通りに適切に処理していないとアカウントは有効にならないんだぜ。登録時に入れたメールアカウント宛の過去のメールを確認してみたらどーかなー

質問者が納得Apple IDの登録作業は途中でアップルからメールが送られてくる形になってる。そのメールに書かれている通りに認証処理をしないと作成した（つもりの）Apple ID（アカウント）は有効にならない。登録に使ったメールアドレスあての過去のメールをちぇっくしてみたらどーだろーか