質問者が納得auスマフォでテザリングして、iPhoneをWIFI運用ですよね。
iPhoneのアプリは3G必須のものでなければ(WIFIのみで動くアプリならば)、問題なく動作します。
一度設定すれば、設定を変えるまではそのまま動きます(画面が消えていてもです)。
画面が消えて見えるのはバックライトが消えているだけですので、実際は画面表示は随時変わっています。
ランニングアプリについては知識がありませんので、WIFIのみで使えるのか確認してみてください。
(SIMを抜いて、WIFIのみで動作するのか確認すると良い...
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