質問者が納得スマホは、バックグラウンドでも通信を行いますので、料金を抑えるなら、通信そのものを「OFF」とする必要があります。
メニュー⇒設定⇒無線とネットワーク⇒モバイルネットワーク⇒データ通信を有効にする
のチェックを外して下さい。
それに加え、同じ所にある「アクセスポイント名」に入ると、現在「SPモード」になっていると思いますが、それを「mopera設定」に変更しておきます。(ここにしておくと、ネットに繋がってもmoperaの設定ページ{無料}にしか繋がりません。)
そうする事で、ネットに繋がらなくなります...
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