質問者が納得パソコンないしiPhone側のevernoteの同期が完了していないためだと思います。
パソコンのevernoteで同期をクリックして同期が終了してから終了。
iPhoneのevernoteで画面んを下に引っ張ると右上に更新マークがあるのでタップして更新。
を試してみてください。それで同期されます。
また
>「ノートブック」タブを一番上にして、すぐに開ける方法
タブの上下を移動する事はできませんが、アプリを終了しても前回開いていたとこから表示されると思いますが。
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