質問者が納得同じ機種を使用しています。
一度修理（点検）に出された方が良いと思います。
ホワイトバランスの設定かと思いましたが、試されているようですので違うようですね。
Photohitoやフォト蔵などの作例で確認できるかと思いますが、空が緑というのは意図として作らない限りは当該機種では出ないですよ。
機種の問題ではなく個体の問題かと思います。
また、逆光についてはフジの苦手なシーンの一つですよ。
測光方式をスポット測光にしてみると改善する可能性がありますが、背景が飛びそうですね。
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