質問者が納得EメールとPCメールでは変わってきます。
PCメールでは受信確認時間の設定があり、これが1時間と設定してあれば1時間ごとにメールサバーに受信確認を行う仕組みになっています。 時間は変更可能です。(煩雑に受信確認を行うと電池の持ちが悪くなります)
Eメールは即座に受信可能ですが、内部ストレージが少ないと受信出来ない場合があります(経験済み)
従って、アプリをSDカードに移す、メールのゴミ箱を空にするなどを行い内部ストレージに余裕を持たせて下さい。
Auの話ですと100MBを目安と言っていました。
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