質問者が納得バックグラウンドでYOUTUBEを再生できるアプリが必要になります。
使用しているわけではないので使用感を保障できませんが
ざっと調べたところ下記のようなアプリがあるようです。
参考までにどうぞ
PVSTAR+ (YouTube音楽再生アプリ)
https://play.google.com/store/apps/details?id=jp.co.asbit.pvstar&feature=more_from_developer#?t=W251bGwsMSwyLDEwMiwianAuY28uYXNi...
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