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＞Ｑ１：この「相性」なるものは何なんでしょうか？

技術的なことは置いておいて、簡単に言えば、そういう接続の仕方を前提に作られていない、という事です。
変換機自体はそういった目的の為に作られているので問題無いですが、チューナーやテレビが変換機を介して接続する事を前提に作られている訳ではないので、予期せぬエラーが発生する可能性がある、という事ですね。

＞Ｑ２：ＰＣモニタの解像度は「1680x1050」なんですが、チューナーの設定で、最初、「デジタル1080i」にしましたが、
以下のメッセージが出ました。
映ることは映るんですが、電源ｏｎするたびに出るので、「720p」に変更したら出なくなりました。
このメーッセージって、どういう意味でしょうか
設定：デジタル 1080i
メッセージ：Ｎｏｔ Ｏｐｉｔｉｍｕｍ Ｍｏｄｅ、Ｒｅｃｏｍｍｅｎｄ Ｍｏｄｅ：1680×1050 60Hz ？

おそらく、モニターの解像度と入力した信号が違うため（サポートしていない解像度）、設定があっているか確認してください、という意味のメッセージだと思われます。
「720p」は1280×720で、1680x1050よりも解像度が低い為、問題なく表示されるのだと思いますよ。

＞ＰＳ．ＤＴＶＨ５００Ｒという地デジチューナーは基本的にアナログＴＶに接続するためのものですが、音声出力のＲＣＡ端子はあるものの、ＰＣモニタに接続する場合は、「ＲＣＡ⇒３Ｐステレオジャック」の変換ケーブルが必要です。
しかも、PCモニタで見る場合、チューナーのリモコンの音声の大小ボタンを押しても音声は変化しません。
基本的に、チューナー本体には音声可変機能はなく、リモコンで操作するとアナログTV側の音声を変更するようです。
※ＴＶをリモコンで操作するために、予め、設定画面でアナログTVのメーカーの設定が必要です。

質問者様が書かれている通り、チューナー本体に音量調節機能が無いのでしょう。
チューナーのリモコンにテレビのメーカーコードを入力するのは、チューナーとテレビを連動させる為では無く、チューナーのリモコンでテレビを直接操作出来るようにする為です。
（要するに、チューナーのリモコンからテレビを操作する電波（赤外線）を出して、テレビを操作する。）

HDMIで直接接続できれば、HDMIでのリンク機能を使ってレコーダーからテレビの制御が出来るのかもしれませんが、直接接続できない訳ですから、チューナーからモニターの制御は出来ません。

諦めて、モニター側で調節するしかないですね。