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緊急！！！！500枚！TEXについてTexの知識が全くありません！！これ読めるようにしてくださいなあアアアアアア¥documentclass{jsarticle}¥begin{document}ガウシアンの波動関数¥[¥psi(x)=¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x^2)}¥right)¥exp¥left(¥frac{ip_0 x}{¥hbar}¥right)¥]のフーリエ変換¥[¥phi(p)= ¥int _{-¥infty}^¥infty dx ¥exp¥left(-¥frac{ipx}{¥hbar}¥right)¥psi(x)= ¥int _{-¥infty}^¥infty dx ¥exp¥left(-¥frac{i(p-p_0)x}{¥hbar}¥right)¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x^2)}¥right)¥]を計算する。¥par被積分関数の指数関数部分は、¥begin{eqnarray}&& -¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}-¥frac{i(p-p_0)x}{¥hbar} ¥nonumber ¥¥&=& -¥frac{1}{2(¥Delta x)^2} ¥left(x^2 +i¥frac{2(¥Delta x)^2(p-p_0)}{¥hbar}x¥right) ¥nonumber ¥¥&=& -¥frac{1}{2(¥Delta x)^2}¥left(x+i¥frac{(¥Delta x)^2(p-p_0)}{¥hbar}¥right)^2-¥frac{(¥Delta x)^2}{2¥hbar^2}(p-p_0)^2 ¥nonumber ¥end{eqnarray}となります。よって、¥[¥phi(p) = ¥exp¥left(-¥frac{(¥Delta x)^2}{2¥hbar^2}(p-p_0)^2¥right)¥int _{-¥infty}^¥infty dx ¥exp¥left[-¥frac{1}{2(¥Delta x)^2}¥left(x+i¥frac{(¥Delta x)^2(p-p_0)}{¥hbar}¥right)^2¥right]¥]となります。この積分が問題です。結果から言うと¥[¥int _{-¥infty}^¥infty dx ¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}¥right)¥]と計算しても構いません。それは以下のように示します。¥par一端、積分範囲を $[-R,R]$ としましょう。$x$ を複素数として、複素平面上のA$(x=-R)$, B$(x=R)$,C$(x=R+i(¥Delta x)^2(p-p_0)/¥hbar)$,D$(x=-R+i(¥Delta x)^2(p-p_0)/¥hbar)$の4点からなる長方形の積分路での¥[¥int_{¥rm ABCDA} dx¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}¥right)¥]という複素積分を考えます。線分BC、DAでの積分は$R¥to¥infty$でゼロになります。また、この長方形内に極がないので、¥[¥lim_{R¥to¥infty}¥int_{¥rm AB} dx ¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}¥right)=¥lim_{R¥to¥infty}¥int_{¥rm DC} dx¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}¥right)¥]となります。これが、¥[¥int _{-¥infty}^¥infty dx ¥exp¥left[-¥frac{1}{2(¥Delta x)^2}¥left(x+i¥frac{(¥Delta x)^2(p-p_0)}{¥hbar}¥right)^2¥right]=¥int _{-¥infty}^¥infty dx¥exp¥left(-¥frac{x^2}{2(¥Delta x)^2}¥right)¥]となり理由です。¥parなんか、これをみると、$¥Delta p = ¥hbar/¥Delta x$ っぽいな

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