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何かPC上の設定でこれらのことが解決される方法がありましたら
お教えください。よろしくお願いいたします。
→ハード的な問題かと。

古いPCなので、バッテリーがへたり、電源もつないでいなかったため、バックアップ電池(内蔵電池)がダメになり、BIOSの設定がおかしくなったのでは？
このPCのバックアップ電池が、汎用のボタン電池でいけるなら交換してみては。

バッテリーに関しては、新しいバッテリーに交換するしかないと思うが、
このPCのを長持ちさせるほどのスペックとは思えないので、買い替えがいいかと思うが。

USBにiPodを繋いで、認識しないのであれば、USBの故障かと思われるが、充電に関してはわかりません。本来USB経由で充電できるのか、それとも充電ができなくなったのか。
リカバリOSがあれば、リカバリしてもいいかと。

オークションPCは手持ちのPCの修理用の部品の取り置きぐらいに考え購入してます。

どんな状態で出品されていたかは知りませんが、現在でのEeePCの多くは『ジャンク品』扱いです。
そのジャンク品であると言うのを理解した上で購入する『分かってる人向け』なモバイルブックPCであると言う前提の元に回答させて頂きます。

起動後スリープ状態のようになりますが、電源ボタンを軽く押し・・それで正常に起動します。または、画面閉じ・Enterで正常に起動します＞
どこにも『１回で』と言う事は書かれていませんので、質問主さんの何度か試してと言うのは出品者さんの方に落ち度は何も無いですよ。

大容量バッテリパック
３時間50分程度の駆動時間が可能（動作状態にもよります。消耗品ですので保証対象外です。）＞
新品の時のカタログ値での説明です。
消耗品故に、バッテリー性能が失われている状態ですね。
なので、こちらも出品者が嘘を書いてる訳では無いのでやっぱり落ち度はありません。

『外付けHDDによる動作確認』と記載されていたのにiPod touchを充電しようと
つないでもまったく充電されません＞
あくまで動作を確認したのは外付けのHDDですよ？
iPod touchはHDD（ハードディスク）ではありません、書いてある事と別のデバイスを接続して動作しないと言っても、それは筋違いです。
（外付けHDDを接続した上でソレが認識しないと言うなら出品者に文句を言えるでしょう）


もうPC上の設定とか以前にEeePCは購入しても自身で部品なりパーツなりを用意して動かなければ機械的に修理をするのが前提として認識されているモノです。
状態は質問を読む限りでもあまり良い状態のモノでは無いと言うのが読み取れるモノですから、そこらを見極められずに購入してしまったのは御愁傷様としかかける言葉が見つかりません…

かなり使い込んだPCですね。普段電源で使用していると、バッテリーが満タンでも、電源コードを抜くとOFFになります。バッテリーの買い替えが必要です。